Question

（2012•閘北區一模）已知△ABC的面積為1，且滿足

AB

•

AC

≥2，設

AB

和

AC

的夾角為θ．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數f(θ)=

3

cos2θ-2cos2(θ+

π

4

)的最小值．

Answer 1

分析：（1）由三角形的面積公式可得，

1

2

bcsinθ=1，結合向量的數量積的定義可得bccosθ≥2，聯立可求θ的范圍
（2）由二倍角公式及輔助角公式可把已知函數化解為f（θ）=2sin(2θ+

π

3

)-1，結合正弦函數的性質可求最小值

解答：解：（1）設△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
則由

1

2

bcsinθ=1，bccosθ≥2，（4分）
可得0＜tanθ≤1，
∵θ∈[0，π]
∴θ∈(0，

π

4

]．（2分）
（2）f(θ)=

3

cos2θ+2cos2(θ+

π

4

)
=2sin(2θ+

π

3

)-1（5分）
∵θ∈(0，

π

4

]，∴2θ+

π

3

∈(

π

3

，

5π

6

 ]，
所以，當2θ+

π

3

=

5π

6

，即θ=

π

4

時，f（θ）_min=0（3分）

點評：本題主要考查了三角形的面積公式及向量的數量積的應用，二二倍角公式、輔助角公式的應用是求解（2）的關鍵