Question

一個(gè)袋子中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球（m＞n≥4），它們除顏色不同外，其余都相同，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球．
（1）若取出兩個(gè)紅球的概率等于取出一紅一白兩個(gè)球的概率的整數(shù)倍，求證：m必為奇數(shù)；
（2）若取出兩個(gè)球顏色相同的概率等于取出兩個(gè)顏色不同的概率，求滿足m+n≤20的所有數(shù)組（m，n）．

Answer 1

分析：（1）首先分別求出從中取出兩個(gè)紅球的概率與取出一紅一白兩個(gè)球的概率之和，再根據(jù)題意列方程組并且進(jìn)行整理可得：m-1=2nk，進(jìn)而根據(jù)奇偶數(shù)的特征得到答案．
（2）首先由題意可得：取出兩個(gè)球顏色相同的概率，再求出取出兩個(gè)球的顏色不同（即兩個(gè)球的顏色是一紅一白）的概率，即可得到方程（m-n）²=m+n，再結(jié)合題中的條件求出m-n的取值是3，4，進(jìn)而得到相應(yīng)m+n的取值分別是9，16，再結(jié)合m＞n≥4求出答案．

解答：證明：（1）由題意可得：從中任取兩個(gè)球的不同取法共有：C_m+n²種，
取出兩個(gè)紅球的不同取法有：C_m²=

m(m-1)

2

，
所以取出兩個(gè)紅球的概率為：

C 2 m

C 2 m+n

；
取出一紅一白兩個(gè)球的不同取法為：C_m¹C_n¹，
所以取出一紅一白兩個(gè)球的概率為：

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
又因?yàn)槿〕鰞蓚�(gè)紅球的概率等于取出一紅一白兩個(gè)球的概率的整數(shù)倍，
所以

C 2 m

C 2 m+n

=k

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，即m-1=2nk，
因?yàn)?nk為偶數(shù)，
所以m-1為偶數(shù)，即m為奇數(shù)．
解：（2）由題意可得：取出兩個(gè)球顏色相同即兩個(gè)球都是紅色或者都是白色，
因?yàn)槿〕鰞蓚�(gè)白球的不同取法有：

C

2 n

 =

n(n-1)

2

，
所以取出兩個(gè)白球的概率為：

C 2 n

C 2 m+n

，
由（1）可得：取出兩個(gè)紅球的概率為：

C 2 m

C 2 m+n

；
所以取出兩個(gè)球顏色相同的概率等于

C 2 m + C 2 n

C 2 m+n

；
取出兩個(gè)球的顏色不同即兩個(gè)球的顏色是一紅一白，
由（1）可得：取出一紅一白兩個(gè)球的概率為：

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

．
因?yàn)槿〕鰞蓚�(gè)球顏色相同的概率等于取出兩個(gè)顏色不同的概率，
所以

C 2 m + C 2 n

C 2 m+n

=

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，即（m-n）²=m+n，
因?yàn)閙＞n≥4，
所以m+n＞8，
又因?yàn)閙+n≤20，
所以2

2

∠m-n≤

20

＜5，m-n的取值只可能是3，4，
所以相應(yīng)m+n的取值分別是9，16，
可得 

m=6 n=3

或

m=10 n=6

，
因?yàn)閙＞n≥4，
所以（m，n）的數(shù)組值為（10，6）．

點(diǎn)評：本題主要考查等可能事件的概率公式與排列、組合、計(jì)數(shù)原理的有關(guān)問題，解決此題的關(guān)鍵是挖掘題中的隱含條件以及熟練掌握組合數(shù)與排列數(shù)的計(jì)算公式，此題對學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識靈活解決問題的能力要求較高，考查學(xué)生的計(jì)算能力，此題屬于中檔題目．