Question

【題目】已知數列中， ，且對任意正整數都成立，數列的前項和為．

（1）若，且，求；

（2）是否存在實數，使數列是公比為1的等比數列，且任意相鄰三項按某順序排列后成等差數列，若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由；

（3）若，求．（用表示）．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

(1)由題意求得首項，公差，結合等差數列前n項和公式列方程可得 ；

(2)假設存在滿足題意的實數k，分類討論可得；

(3)結合題意分類討論，然后分組求和可得.

試題解析：

（1）時， ，

所以數列是等差數列，

此時首項，公差，

數列的前項和是；

故，得 ；

（2）設數列是等比數列，則它的公比，所以，

①為等差中項，則，

即，解得，不合題意；

②為等差中項，則,

即，化簡得： ，解得或（舍去）；

③若為等差中項，則，

即，化簡得： ，解得；

；

綜上可得，滿足要求的實數有且僅有一個， ；

（3），則，

，

當是偶數時，

，

當是奇數時，

，

也適合上式，

綜上可得， ．