Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和．（2）實數(shù)的取值范圍是．

【解析】試題分析：（1）先確定函數(shù)定義域，再求導函數(shù)，進而求定義區(qū)間上導函數(shù)的零點，最后列表分析導函數(shù)符號：確定單調(diào)區(qū)間,（2）恒成立問題，解決方法為轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值問題： 的最大值小于零，先求導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)是否變化進行討論：當時，單調(diào)遞增，無最大值；當時，先增后減，在極值點處取最大值，不恒小于零：當時， 在上單調(diào)遞減， .

試題解析：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

當時， ，

，

由得， ，

由得， 或，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為和．

（Ⅱ）當時， 恒成立，

令，

問題轉(zhuǎn)換為時， ．

，

①當時， ，

在上單調(diào)遞增，

此時無最大值，故不合題意．

②當時，令解得， ，

此時在上單調(diào)遞增，

此時無最大值，故不合題意．

③當時，令解得， ，

當時， ，

而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

令， ，

則，

在上單調(diào)遞增，

又，

當時， ，

在上小于或等于不恒成立，即不恒成立，

故不合題意．

當時， ，

而此時在上單調(diào)遞減， ，符合題意．

綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．

（也可用洛必達法則）