Question

已知函數f（x）=alnx-（x-1）²-ax（常數a∈R）
（1）求f（x）的單調區間；
（2）設a>0如果對于f（x）的圖象上兩點P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（1< x₁< x₂ ），存在x₀∈（x₁，x₂），使得f（x）的圖象在x=x₀處的切線m∥P₁P₂，求證：  

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域為（0，+ ∞）
   
①a≥0時，f（x）的增區間為（0，1），減區間為（1，+ ∞） 
②-2<a<0時，f（x）的增區間為（，1），減區間為（0，） ∪（1，+ ∞）
③a=-2時，f（x）減區間為（0，+ ∞） 
④a<-2時，f（x）的增區間為（1，），減區間為（0，1） ∪（，+∞）
（2）由題意
 
又： 
∵ （a>0）在（1，+ ∞）上為減函數
要證，只要證
即， 即證
令， 
∴g（t）在（1，+ ∞）為增函數
∴g（t）>g（1）=0
∴，即 
即   
∴ 得證