Question

【題目】函數的定義域為，如果存在實數， 使得對任意滿足且的恒成立，則稱為廣義奇函數.

（Ⅰ）設函數，試判斷是否為廣義奇函數，并說明理由；

（Ⅱ）設函數，其中常數 ，證明是廣義奇函數，并寫出的值；

（Ⅲ）若是定義在上的廣義奇函數，且函數的圖象關于直線（為常數）對稱，試判斷是否為周期函數？若是，求出的一個周期，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）是廣義奇函數（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 是廣義奇函數.理由如下：滿足題意時只需證明存在實數， 使得對任意恒成立.轉化為對任意恒成立,據此可得存在，使得是廣義奇函數.

(Ⅱ)由題意結合廣義奇函數的定義可得， 時， 是廣義奇函數.則，據此可得原式.

(Ⅲ)由題意可得， 恒成立.則：

. .故恒成立.把用代換得據此可得分類討論有：當時， 是函數的一個周期.當時， 對恒成立.

則題中的結論成立.

試題解析：

（Ⅰ）是廣義奇函數. 理由如下：

的定義域為，

只需證明存在實數， 使得對任意恒成立.

由，得，

即.

所以對任意恒成立,

即

從而存在，使對任意恒成立.

所以是廣義奇函數.

（Ⅱ）記的定義域為，只需證明存在實數， 使得當且時，

恒成立，即恒成立.

所以，

化簡得， .

所以, .因為，可得， ,

即存在實數， 滿足條件，從而是廣義奇函數.

由以上證明可知， 是廣義奇函數，對，有 ，即 ，故

（Ⅲ）因為是定義在上的廣義奇函數，且函數的圖象關于直線對稱，

所以有， 恒成立.

由得.

由得.

所以①恒成立. 把用代換得

，

即②

由①②得：

當時， 為周期函數， 是函數的一個周期.

當時，由①得，從而對恒成立.

函數為常函數，也為周期函數，

任何非零實數均為函數的周期.