【題目】平面上有
個點，其中每兩點之間的連線均染成紅色或黑色.若圖中總存在兩個沒有公共邊的同色三角形，求的最小值.
【答案】8
【解析】
對于如圖的七個點，并將圖中的線畫成紅色，其余的線畫成黑色.
于是圖中
所得到的四個三角形，其中任何兩個三角形都是有公共邊的紅色三角形.此外對四個黑三角形
，
也有一條公共邊
，因此所求的最小正整數
.
下面證明
時符合題目要求，用反證法.
假設對8個點每兩點的連線染成紅、黑兩色，但不滿足題目要求.
由于對于6個點，則必存在一個單色三角形，不妨設
為紅三角形（圖中用實線連接）.
這時，考察除去
，
的其他6點.即
，
，…，
每兩點連線染成二色的圖形.由假設知，這6點存在的同色三角形只能是黑三角形，不妨設
是黑三角形（圖中用虛線連接）.
再除去，，
的其余5點，由假設知這5點不能有單色三角形，于是只能為如圖的情形，不妨設
所連線為紅線，
所連線為黑線.
這時，再考察由，，，，
，這6點構成的圖.由反證假設只能有兩個紅三角形，且這兩個紅三角形都以
為公共邊，于是這兩個三角形只能是
和
.所以
為紅邊，
為紅邊.類似地可證
和
為黑邊，此時若
為紅邊則
與為無公共邊紅三角形，若為黑邊，則
與
為無公共邊黑三角形，均與反證假設矛盾.
綜上，所求最小正整數為.
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【題目】某電視臺為宣傳本省，隨機對本省內15～65歲的人群抽取了
人，回答問題“本省內著名旅游景點有哪些”統計結果如圖表所示.
組號 | 分組 | 回答正確的人數 | 回答正確的人數占本組的頻率 |
第1組 |
|
|
|
第2組 |
| 18 |
|
第3組 |
|
|
|
第4組 |
|
|
|
第5組 |
|
|
|
（1）分別求出
的值；
（2）從第2、3、4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2、3、4組每組各抽取多少人？
（3）指出直方圖中，這組數據的中位數是多少（取整數值）？
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l1：kx-y+4=0與直線l2：x+ky-3=0相交于點P，則當實數k變化時，點P到直線4x-3y+10=0的距離的最大值為（ ）
A.2B.
C.
D.
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【題目】已知直線l：y=kx+m與橢圓
+
=1（a＞b＞0）恰有一個公共點P，l與圓x2+y2=a2相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求m（用a，b，k表示）；
（Ⅱ）當k=-
時，△AOB的面積的最大值為a2，求橢圓的離心率．
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【題目】汽車的普及給人們的出行帶來了諸多方便，但汽車超速行駛也造成了諸多隱患.為了解汽車通過某一段公路時的車輛行駛情況，現隨機抽測了通過這段公路的200輛汽車的行駛速度（單位：km/h），所得數據均在區間
內，其頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求被抽測的200輛汽車的平均行駛速度.
（2）已知該路段屬于事故高發路段，交警部門對此路段過往車輛限速60 km/h，并且對于超速行駛車輛有相應處罰：記分（扣除駕駛員駕照的分數）和罰款.
罰款情況如下：
超速情況 | 10%以內 | 10%~20% | 20%~50% | 50%以上 |
罰款情況 | 0元 | 100元 | 150元 | 500元 |
求被抽測的200輛汽車中超速10%~20%的車輛數.
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【題目】
已知數列
中，
，前項和
．
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列
的前項和為
，是否存在實數
，使得
對一切正整數都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．
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【題目】為全面貫徹黨的教育方針，堅持立德樹人，適應經濟社會發展對多樣化高素質人才的需要，按照國家統一部署，湖南省高考改革方案從2018年秋季進入高一年級的學生開始正式實施.新高考改革中，明確高考考試科目由語文、數學、英語
科，及考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物
個科目中自主選擇的科組成，不分文理科.假設個自主選擇的科目中每科被選擇的可能性相等，每位學生選擇每個科目互不影響，甲、乙、丙為某中學高一年級的名學生.
（1）求這名學生都選擇了物理的概率.
（2）設
為這名學生中選擇物理的人數，求的分布列和數學期望.
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