Question

（本小題滿分13分）某市“環(huán)保提案”對(duì)某處的環(huán)境狀況進(jìn)行了實(shí)地調(diào)研，據(jù)測(cè)定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為.現(xiàn)已知相距的，兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為正數(shù),，它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和.設(shè).
(1) 試將表示為的函數(shù)；
(2) 若時(shí),在處取得最小值，試求的值.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染指數(shù)為，
點(diǎn)C受B污染源污染指數(shù)為，
其中k為比例系數(shù)，且k＞0,
從而點(diǎn)C處污染指數(shù).                         ……5分
（2） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001328170337.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，=，
令=0，得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又此時(shí)，解得，
經(jīng)驗(yàn)證符合題意.
所以，污染源B的污染強(qiáng)度的值為.                            ……13分
點(diǎn)評(píng)：從實(shí)際問題中抽象數(shù)學(xué)模型時(shí)，一定不要忘記函數(shù)的實(shí)際定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要把單調(diào)性說(shuō)清楚，必要時(shí)可以畫表格輔助說(shuō)明.