Question

已知點（1，

1

3

）是函數f（x）=a^x（a＞0）且a≠1）的圖象上一點，等比數列{a_n}的前n項和T_n=f（n）-c（c為常數）．數列{b_n}的各項為正數，首項為c，前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求常數c；
（Ⅱ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）把點（1，

1

3

）代入函數f（x）=a^x（a＞0）且a≠1），即可得出a．分別求出a₁，a₂，a₃，利用數列{a_n}成等比數列，可得

a

2 2

=a1a3，即可解出c．
（II）利用q=

a2

a1

即可得出公比q，再利用通項公式即可得出a_n．利用Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，通過因式分解可得(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．進而得出

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）．再利用等差數列的通項公式即可得出S_n．當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1即可得出b_n．

解答：解：（I）∵f（1）=a=

1

3

，∴f(x)=(

1

3

)x．
∵a1=f(1)-c=

1

3

-c，a₂=T₂-T₁=[f（2）-c]-[f（1）-c]=(

1

3

)2-

1

3

=-

2

9

，
a₃=T₃-T₂=[f（3）-c]-[f（2）-c]=(

1

3

)3-(

1

3

)2=-

2

27

．
又數列{a_n}成等比數列，∴

a

2 2

=a1a3，
∴(-

2

9

)2= (

1

3

-c)(-

2

27

)，∴c=1．
（II）由題意，數列{a_n}的公比q=

a2

a1

=

1

3

，
∴an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-2•(

1

3

)n（n∈N^*）．
∵Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，
∴(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
而b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）．
即數列{

Sn

}構成一個首項為1，公差為1的等差數列，
∴

Sn

=1+(n-1)•1=n，∴Sn=n2．
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又b₁=1也適合上式，
∴b_n=2n-1（n∈N^*）．

點評：熟練掌握等差數列與等比數列的定義、通項公式及“當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1”求通項公式等是解題的關鍵．