Question

【題目】已知函數f(x)滿足：①對于任意實數x，y都有f(x＋y)＋1＝f(x)＋f(x)且f()＝0；②當x＞時，f(x)＜0.

(1)求證：f(x)＝＋f(2x)；

(2)用數學歸納法證明：當x∈[，](n∈N*)時， f(x)≤1－.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）令y＝x，可得f(x)＝＋f(2x)．

（2）根據數學歸納法的證明步驟，即可證明結論。

試題證明：　(1)令y＝x，可得f(2x)＋1＝f(x)＋f(x)，

所以f(x)＝＋f(2x)．

(2)①當n＝1時，x∈[，]，

則2x∈[，1]，所以f(2x)≤0，

又f(2x)＋1＝2f(x)，所以f(x)＝＋f(2x)≤＝1－，

所以當n＝1時命題成立；

②假設n＝k時命題成立，即當x∈[，](k∈N*)時，f(x)≤1－，

則當n＝k＋1時，x∈[，]，2x∈[，]，則

f(x)＝＋f(2x)≤＋－

＝1－，

當n＝k＋1時命題成立．

綜上①②可知，當x∈[，](n∈N*)時，

f(x)≤1－.