Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若直線的斜率為1，且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為， 的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線（直線的斜率不為1）與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，若，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由的周長(zhǎng)為，可得，由直線的斜率為可得，

由直線的斜率，得，結(jié)合求出從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先求出，由可得，直線的方程為，則，聯(lián)立，所以，根據(jù)韋達(dá)定理列出關(guān)于的方程求解即可.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>的周長(zhǎng)為，所以，即，

由直線的斜率，得，

因?yàn)?/span>，所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意可得直線方程為，聯(lián)立得 ，解得，所以， 因?yàn)?/span>，即，

所以，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，不符合題意，

故設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在點(diǎn)的上方，則，聯(lián)立，所以，所以，消去得 ，所以，得，

又由畫圖可知不符合題意，所以，

故直線的斜率為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.