Question

已知函數f（x）=

-2a+1

2x+2a

，
（1）判斷函數f（x）的單調性并證明；
（2）若f（x）＞-2^x在x≥a上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，根據指數函數的圖象和性質，可判斷出f（x₁）-f（x₂）的符號，進而判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，進而根據函數單調性的定義，可判斷出函數f（x）的單調性
（2）若f（x）＞-2^x在x≥a上恒成立，即（2^x）²+2^a•2^x-2•2^a≥0，令t=2^x，構造函數h（t）=t²+2^a•t-2•2^a，分析函數的單調性進而求出函數的最值，進而可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）在R上是增函數．…..（2分）
證明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
則2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）=

-2a+1

2x1+2a

-

-2a+1

2x2+2a

=

2a+1(2x1-2x2)

(2x1+2a)(2x2+2a)

＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）…..（4分）
所以函數f（x）在R上是增函數．…..（6分）
（2）因為

-2a+1

2x+2a

≥-2x
所以（2^x）²+2^a•2^x-2•2^a≥0，…（8分）
令t=2^x，則t≥2^a，
h（t）=t²+2^a•t-2•2^a≥0，
又h（t）在t∈[2^a，+∞）上是增函數，…．（10分）
所以(h(t))min=h(2a)=2(22a-2a)≥0 ， 2a≥1，
所以a≥0…．．（14分）

點評：本題是指數函數的綜合應用，熟練掌握函數單調性的判斷，證明，及應用是解答本題的關鍵，本題難度中檔．