Question

已知f（x）為定義在R上的偶函數，x≥0時，f（x）=x²+4x+3，
（1）求x＜0時函數的解析式
（2）用定義證明函數在[0，+∞）上是單調遞增
（3）寫出函數的單調區間．

Answer 1

分析：（1）x＜0時，-x＞0，代入已知x≥0時，f（x）=x²+4x+3，可得f（-x）=x²-4x+3，根據偶函數的性質可求得f（x）=x²-4x+3；
（2）根據函數單調性的定義按五步走證明即可；
（3）根據二次函數的單調性分別求解兩段函數的單調區間即可．

解答：解：（1）x＜0時，-x＞0
∵x≥0時f（x）=x²+4x+3，
∴f（-x）=x²-4x+3（2分）
∵y=f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x）（4分）
x＜0時，f（x）=x²-4x+3（6分）
∴f（x）=

x2+ 4x+3，x≥0 x2-4x+3，x＜0

（8分）
（2）設任意的x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
所以有f（x₁）-f（x₂）=x₁²+4x₁-x₂²-4x₂=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂+4），
因為0＜x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，x₁+x₂+4＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數y=x²+4x+3在x∈[0，+∞）是單調遞增函數．
（3）由（1）知x＜0時，f（x）=x²-4x+3，根據二次函數的單調性可得函數的單調減區間（-∞，0）
x≥0時f（x）=x²+4x+3，根據二次函數的單調性可得函數的單調增區間[0，+∞）
所以函數的單調區間為：（-∞，0），[0，+∞）．

點評：本題主要考查了利用偶函數的對稱性求解函數的解析式，函數單調性的判斷與證明，函數的單調區間的求解，（3）中對每段函數求解單調區間時要注意函數的定義域．