Question

（2012•長寧區二模）對于定義在R上的函數f（x），有下述命題：
①若f（x）是奇函數，則f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱；
②若函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，則f（x）為偶函數；
③若對x∈R，有f（x-1）=-f（x），則2是f（x）的一個周期；
④函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱．
其中正確的命題是

①②③④

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：本題考查的知識點是，判斷命題真假，著重考查了函數的對稱性與周期性，及圖象平移的一些知識．
（1）（2）：f（x-1）的圖象可以由f（x）的圖象向右平移1個單位得到；
（3）：周期函數是對一切X都有f（x+T）=f（x）；
（4）：f（1-x）=f（-（x-1））且f（x-1）的圖象可以由f（x）的圖象向右平移1個單位得到．

解答：解：①若f（x）是奇函數，則其對稱中心是（0，0）
由于f（x-1）的圖象可以由f（x）的圖象向右平移1個單位得到，
則f（x-1）關于（1，0）對稱．故①是正確的．
②由于f（x）的圖象可以由f（x-1）的圖象向左平移1個單位得到，
又由于函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，則函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱，
即f（x）為偶函數．故②也正確．
③由于若對x∈R，有f（x-1）=-f（x），則f（x-2）=-f（x-1）=-（-f（x））=f（x），
所以2是f（x）的一個周期．故③也正確．
④由于f（x）=f（-x）時f（x）為偶函數，其對稱軸是y軸即x=0，
而f（1-x）=f（-（x-1））且f（x-1）的圖象可以由f（x）的圖象向右平移1個單位得到，
所以f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱．故④也正確．
故正確的是①②③④．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，比較綜合的考查了函數的對稱性與周期性，我們可以根據函數的性質對四個結論逐一進行判斷，可以得到正確的結論．