Question

設函數f（x）是定義在R上的偶函數．若當x≥0時，f(x)=

|1- 1 x 0

x＞0；， x=0.

（1）求f（x）在（-∞，0）上的解析式．
（2）請你作出函數f（x）的大致圖象．
（3）當0＜a＜b時，若f（a）=f（b），求ab的取值范圍．
（4）若關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數解，求b，c滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）設x∈（-∞，0）則-x∈（0，+∞），代入大于零的解析式，然后根據偶函數的性質即可求出f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（2）利用分段函數的特點，分別在坐標系下畫出函數的圖象；
（3）因為0＜a＜b，所以f（a）=f（b）建立等式關系，然后利用基本不等式即可求出ab的范圍；
（4）根據圖象可知對于方程f（x）=a，當a=0時，方程有3個根；當0＜a＜1時，方程有4個根，當a≥1時，方程有2個根；當a＜0時，方程無解，則要使關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數解，關于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一個在區間（0，1）的正實數根和一個等于零的根，即可求出b、c滿足的條件．

解答：解：（1）當x∈（-∞，0）時，f(x)=f(-x)=|1-

1

-x

|=|1+

1

x

|．…（4分）
（2）f（x）的大致圖象如下：．
…（8分）
（3）因為0＜a＜b，所以f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?(1-

1

a

)2=(1-

1

b

)2?

1

a

+

1

b

=2，…（11分）?a+b=2ab＞2

ab

解得ab的取值范圍是（1，+∞）．…（13分）
（4）由（2），對于方程f（x）=a，當a=0時，方程有3個根；當0＜a＜1時，方程有4個根，當a≥1時，方程有2個根；當a＜0時，方程無解．…（15分）
所以，要使關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數解，關于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一個在區間（0，1）的正實數根和一個等于零的根．
所以c=0，f（x）=-b∈（0，1），即-1＜b＜0，c=0．…（18分）

點評：本題主要考查了函數的奇偶性，以及函數解析式和函數圖象，同時考查了根的存在性及根的個數判斷，屬于中檔題．