Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x的圖象與直線y=a有相異三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是

-2＜a＜2

．

Answer 1

分析：先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得出極值點(diǎn)及極值、單調(diào)區(qū)間，并求出其零點(diǎn)，根據(jù)以上結(jié)論畫出圖象，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³-3x，∴f^′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
∴當(dāng)x∈（-∞，-1）或（1，+∞）時(shí)，f^′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）或（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f^′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減．
又f（x）=0，解得x=0，±

3

．
根據(jù)以上畫出圖象．
若函數(shù)f（x）=x³-3x的圖象與直線y=a有相異三個(gè)公共點(diǎn)，則a必須滿足f（x）_min＜y＜f（x）_max，∴-2＜a＜2．
所以a的取值范圍是-2＜a＜2．
故答案 為-2＜a＜2．

點(diǎn)評(píng)：熟練利用導(dǎo)數(shù)得到極值及單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．