Question

已知{a_n}是公差為d的等差數列，它的前n項和為S_n，等比數列{b_n}的前n項和為T_n，S₄=2S₂+4，b2=

1

9

，T2=

4

9

（1）求公差d的值；
（2）若對任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范圍
（3）若a1=

1

2

，判別方程S_n+T_n=2009是否有解？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由S₄=2S₂+4，知4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，由此能求出公差d的值；
（2）解法1：由a_n=a₁+（n-1）d=n+a₁-1，知Sn=

a1+an

2

n=

1

2

[n2+(2a1-1)n]，再由對任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈，知

15

2

≤-

2a1-1

2

≤

17

2

，由此能求出a₁的取值范圍．
解法2：由于等差數列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最大值，必須有

a8≤0 a9≥0

，由此能求出a₁的取值范圍．
（3）由于等比數列{b_n}滿足b2=

1

9

，T2=

4

9

b1q= 1 9 b1+b1q= 4 9

，b1=

1

3

   q=

1

3

Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]，Sn=na1+

1

2

n(n-1)d=

1

2

n2，所以方程S_n+T_n=2009轉化為：n2+[1-(

1

3

)n]=4018，由此推導出方程S_n+T_n=2009無解．

解答：解：（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4（2分）
解得d=1（4分）
（2）解法1：a_n=a₁+（n-1）d=n+a₁-1（1分）
Sn=

a1+an

2

n=

1

2

[n2+(2a1-1)n]
∵對任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈，∴

15

2

≤-

2a1-1

2

≤

17

2

（4分）
∴-8≤a₁≤-7
∴a₁的取值范圍是[-8，-7]（5分）
解法2：由于等差數列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最大值，
必須有

a8≤0 a9≥0

（1分）

a1+7d≤0 a1+8d≥0

求得-8≤a₁≤-7（4分）
∴a₁的取值范圍是[-8，-7]（5分）

（3）由于等比數列{b_n}滿足b2=

1

9

，T2=

4

9

b1q= 1 9 b1+b1q= 4 9

（1分）
b1=

1

3

   q=

1

3

Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]（2分）
Sn=na1+

1

2

n(n-1)d=

1

2

n2（3分）
則方程S_n+T_n=2009轉化為：n2+[1-(

1

3

)n]=4018（3分）
令：f(n)=n2+1-(

1

3

)n，
由于f(n+1)-f(n)=2n+1+

2

3

(

1

3

)n＞0
所以f（n）單調遞增（4分）
當1≤n≤63時，f(n)≤632+[1-(

1

3

)63]＜632+1=3970（5分）
當n≥64時，f(n)≥642+[1-(

1

3

)64]＞642=4096（6分）
綜合：方程S_n+T_n=2009無解．

點評：本題考查數列的性質 和應用，解題時要認真審題，仔細求解，通過一題多解不斷提高解題能力．