Question

下圖展示了一個由區間（0，1）到實數集R的映射過程：區間（0，1）中的實數m對應數軸上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖3．圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．下列說法：①f(

1

4

)=1；②f（x）是奇函數； ③f（x）在定義域上單調函數； ④f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱．其中正確命題的序號是

③④

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：借助于圖形來看四個選項，先利用f（

1

4

）=-1，判斷出①錯；
在有實數m所在區間（0，1）不關于原點對稱，知②錯；
從圖形上可得f（x）在定義域上單調遞增，③對；
先找到f（

1

2

）=0，再利用圖形判斷④對．

解答：解：如圖，因為M在以（1，1-

1

2π

）為圓心，

1

2π

為半徑的圓上運動，
對于①當m=

1

4

時．M的坐標為（-

1

2π

，1-

1

2π

），直線AM方程y=x+1，
所以點N的坐標為（-1，0），故f（

1

4

）=-1，即①錯．
對于②，因為實數m所在區間（0，1）不關于原點對稱，
所以f（x）不存在奇偶性．故②錯．
對于③，當實數m越來越大時，
如圖直線AM與x軸的交點N（n，0）也越來越往右，
即n也越來越大，所以f（x）在定義域上單調遞增，即③對．
對于④當實數m=

1

2

時，對應的點在點A的正下方，
此時點N（0，0），所以f（

1

2

）=0，
再由圖形可知f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱，即④對．
故答案為  ③④．

點評：本題考查了在新定義的條件下解決函數問題，是一道很好的題．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題．