Question

【題目】已知橢圓的方程為，是橢圓上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過且斜率等于-1的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．

（1）證明：直線的斜率為定值；

（2）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用點(diǎn)差法即可求證直線BD的斜率為定值；

（2）設(shè)直線BD的方程，由S△ABD＝2S△OBD，將直線BD的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式及基本不等式即可求得△ABD面積的最大值．

（1）設(shè)，，則，直線的斜率，

由，兩式相減，，

由直線，所以，

直線的斜率為定值.

（2）連結(jié)，∵，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，

由（1）可知的斜率，設(shè)方程為.

∵在第三象限，∴且，

到的距離，

由，整理得：，

∴，，

∴

，

.

∴當(dāng)時，取得最大值.