Question

【題目】已知函數（a，b∈R）．

（1）若f（x）在點（1，f（1））的切線為y＝x+1，求f（x）的單調性與極值；

（2）若b＝﹣1，函數有且只有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的單調遞增區間為（，+∞），單調遞減區間為（0，），f（x）的極小值﹣2ln，無極大值；（2）a＜0或a＝1

【解析】

（1）求出導函數，利用和求得，再由導函數的正負確定單調性；

（2）由方程在（0，+∞）上有且只有一個實根，然后分離參數得，設h(x)，研究的單調性和極值后可得結論．

（1）切點（1，f（1））代入切線y＝x+1得：f（1）＝2，

∴f（1）＝1+b＝2，∴b＝1，

∴f'(x)2x+1，

又∵f'（1）＝1，∴2+1＝1，∴a，

∴函數f(x)＝﹣2lnx+x2+x，其中x＞0，

∴f'(x)2x+10，解得x，

列表：

x	（0，）		（，+∞）
f'(x)	﹣	0	+
f(x)	遞減	極小值	遞增

∴f(x)的單調遞增區間為（，+∞），單調遞減區間為（0，），

∴f(x)的極小值為f（）＝﹣2ln（）2）＝﹣2ln，無極大值；

（2）若f(x)有且只有一個零點，

即方程在（0，+∞）上有且只有一個實根，

分離參數得，設h(x)，則h'(x)，

又設φ(x)＝1﹣x﹣2lnx，φ'(x)＝﹣10，而φ（1）＝0，

∴當x∈（0，1）時，h'(x)＞0，h(x)單調遞增；當x∈（1，+∞）時，h'(x)＜0，h(x)單調遞減，

∴h(x)max＝h（1）＝1，

又x∈（0，+∞）時恒有h(x)＞0，且x趨近于+∞時，h(x)趨近于0，

h（）＝e﹣e2＜0，且x趨近于0時，h(x)趨近于﹣∞，

從而0或，

即a＜0或a＝1時函數f(x)有且只有一個零點．