Question

若等差數列{a_n}的首項為a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），公差d是的展開式中x²的系數，其中k為55⁵⁵除以8的余數．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n+15n-75，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）在a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），根據排列組合的意義列出不等關系求出x，從而得出首項，又55⁵⁵=（56-1）⁵⁵=56m-1求出k值，利用二項式定理求出公差d，最后利用等差數列的通項公式寫出數列{a_n}的通項公式即可；
（2）結合（1）求得b_n，化簡=，利用數列{}是遞增數列，即可得到證明．
解答：解：（1）在a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），中，有⇒x=4，
∴a₁=A₅³+C₅⁵=61，
又55⁵⁵=（56-1）⁵⁵=56m-1，m∈Z，∴55⁵⁵除以8的余數為7，∴k=7，
因的展開式中，通項為，當r=1時，它是含x²的項，
∴的展開式中x²的系數是：-C₇¹×2=-14，
∴d=-14，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=61+（n-1）×（-14）=75-14n，
（2）∵b_n=a_n+15n-75=75-14n+15n-75=n，
∴=，數列{}是遞增數列，
且當n=1時，，
由于==，
∴當n→+∞時，→＜，
∴．
點評：本小題主要考查排列組合、二項式定理、數列單調性的應用、數列與不等式的綜合、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查極限思想、化歸與轉化思想，易錯點是不能根據隱含條件得出變量x的值，屬于中檔題．