Question

【題目】已知數列中，，前項和為，且.

（1）求，的值；

（2）證明：數列是等差數列，并寫出其通項公式；

（3）設（），試問是否存在正整數，（其中，使得，，成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數對；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析，；（3）存在，.

【解析】

（1）在中，分別令即可求得答案；
（2）由，即，得，兩式作差整理變形，根據等差數列等差中項的性質即可證明；
（3）假設存在正整數數組，使，，成等比數列，則可得到關系，觀察可知滿足條件，根據數列單調性可證明唯一符合條件.

（1）令，則，

令，則，；

（2）由，即 ① ，

又 ②，

②式減①式，得 ③，

于是 ④，

③、④兩式相加，得，

所以，即，

所以，數列是等差數列.

又，，所以公差，

所以的通項公式為；

（3）由（2）和，知，假設存在正整數數組（），使得，，成等比數列，則，

于是，所以 （*），

當時，，，.

所以是方程（*）的一組解.

當且時，因為，即單調遞減，

所以，此時方程（*）無正整數解.

綜上，滿足題設的數對有且只有一個，為.