Question

（本小題12分）設點，點A在y軸上移動，點B在x軸正半軸（包括原點）上移動，點M在AB連線上，且滿足，．

（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設軌跡C的焦點為F，準線為l，自M引的垂線，垂足為N，設點使四邊形PFMN是菱形，試求實數a；

（Ⅲ）如果點A的坐標為，，其中＞，相應線段AM的垂直平分線交x軸于．設數列的前n項和為，證明：當n≥2時，為定值．

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）設點，≥0)，，依題設得

，

，

即，化簡得為點M的軌跡方程．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，．

設，則．由PFMN是菱形及

拋物線的定義可得PFMN是平行四邊形，

∴，即，

代入拋物線方程中得，即，

∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知．

又由（Ⅰ）可知，代入拋物線方程中可得，∴．

又由，

化簡得，

∴，

于是，

從而為定值．