Question

已知函數
　(Ⅰ)若時，函數在其定義域上是增函數，求b的取值范圍；
　(Ⅱ)在（Ⅰ）的結論下，設函數的最小值；
　(Ⅲ)設函數的圖象C₁與函數的圖象C₂交于P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）依題意：
∵上是增函數，
∴ 對任意恒成立，        ……………2分
∴∵ ∴b的取值范圍為……4分
（Ⅱ）設，即 
∴當上為增函數，當t=1時，6分
當…………7分
當上為減函數，當t=2時，……8分
綜上所述，…………9分
（Ⅲ）設點P、Q的坐標是則點M、N的橫坐標為
C₁在M處的切線斜率為 C_­2­在點N處的切線斜率
假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則
即
則
 ，……12分
設……………………①
令則
∵     ∴     
所以上單調遞增，故 ， 則
這與①矛盾，假設不成立,故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.

解析