Question

已知函數. 

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）設函數，求函數的單調區間；

（Ⅲ）若在上存在一點，使得＜成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）曲線在點處的切線方程為；（Ⅱ）當時，

所以在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，函數在上單調遞增．（Ⅲ）所求的范圍是：或．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程，由導數的幾何意義可得，對函數求導得，令，求出，得切線斜率，由點斜式可寫出曲線在處的切線方程；（Ⅱ）設函數，求函數的單調區間，求函數的單調區間，首先確定定義域，可通過單調性的定義，或求導確定單調區間，由于，含有對數函數，可通過求導來確定單調區間，對函數求導得，由此需對參數討論，有范圍判斷導數的符號，從而得單調性；（Ⅲ）若在上存在一點，使得＜成立，既不等式＜有解，即在上存在一點，使得，即函數在上的最小值小于零，結合（Ⅱ），分別討論它的最小值情況，從而可求出的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）的定義域為，

當時，， ，

，,切點，斜率

∴曲線在點處的切線方程為

（Ⅱ），

  

①當時，即時，在上，在上，

所以在上單調遞減，在上單調遞增；

②當，即時，在上，所以，函數在上單調遞增．

（Ⅲ）在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，即函數在上的最小值小于零．

由（Ⅱ）可知：①當，即時， 在上單調遞減，

所以的最小值為，由可得，

因為，所以；

②當，即時， 在上單調遞增，

所以最小值為，由可得；

③當，即時，可得最小值為，

因為，所以，

故 此時不存在使成立．

綜上可得所求的范圍是：或．

考點：函數與導數，函數單調性，存在解問題．