Question

【題目】已知為正整數，

（1）證明：當時，；

（2）對于，已知，求證：，；

（3）求出滿足等式的所有正整數.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析(3)2,3.

【解析】

（1）直接利用數學歸納法證明即可；

（2）對于,已知,利用指數函數的性質以及放縮法即可證得

（3）利用（2）的結論,以及驗證時等式是否成立，即可求出滿足等式的所有正整數.

(1)證明：

當時, ；即成立，

時,用數學歸納法證明：

(ⅰ)當時,原不等式成立；

當時,左邊,右邊

因為所以左邊右邊,原不等式成立；

(ⅱ)假設當時,不等式成立,即,

則當時，

于是在不等式兩邊同乘以得

,

所以即當時,不等式也成立.

綜合(ⅰ)(ⅱ)知，對一切正整數不等式都成立.

(2)證：當時,由(1)得于是

(3)由(2)知,當時,

,

即,即當時,不存在滿足等式的正整數.

故只需要討論的情形：

當時,等式不成立；

當時,等式成立；

當時,等式成立；

當時,為偶數,而為奇數,故，等式不成立；

當時,同的情形可分析出,等式不成立.

綜上，所求的只有