Question

（2008•黃岡模擬）直線y=2x+m和圓x²+y²=1交于點A、B，以x軸的正方向為始邊，OA為終邊（O是坐標原點）的角為α，OB為終邊的角為β，那么sin（α+β）是

-

4

5

．

Answer 1

分析：把直線方程和圓的方程聯立后，分別消去x和y得到關于y和x的方程，利用根與系數關系得到α，β的余弦和正弦的積，然后利用和角的三角函數求值．

解答：解：聯立

y=2x+m x2+y2=1

，消元得：5x²+4mx+m²-1=0，5y²-2my+m²-4=0，
于是x₁x₂=cosαcosβ=

m2-1

5

，y₁y₂=sinαsinβ=

m2-4

5

．
所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

m2-1

5

-

m2-4

5

=

3

5

，
由題意可知π＜α+β＜2π．
從而sin（α+β）=-

1-cos2(α+β)

=-

1-( 3 5 )2

=-

4

5

．
故答案為-

4

5

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了兩腳和與差的三角函數，解答的關鍵是注意角的范圍，是中檔題．