Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在橢圓上，且面積的最大值為，周長為6.

（1）求橢圓的方程，并求橢圓的離心率；

（2）已知直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若在軸上存在點(diǎn)，使得與中點(diǎn)的連線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的取值范圍

Answer 1

【答案】（1），橢圓的離心率（2）

【解析】

（1）利用基本量法，列方程，求解即可．

（2）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)與中點(diǎn)的連線與直線垂直得出點(diǎn)橫坐標(biāo)的表達(dá)式，利用基本不等式得出的取值范圍．

（1）由題意得，解之得，，，

所以橢圓的方程為，

橢圓的離心率；

（2）由得，

設(shè)，，則，，

所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，整理得，

因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取得等號，

此時(shí)取得最小值，

因?yàn)?/span>，所以，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.