Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N* ．
（1）若2a2 ， a3 ， a2+2成等差數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)雙曲線x2﹣ =1的離心率為en ， 且e2= ，證明：e1+e2++en＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵Sn+1=qSn+1 ①，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=qSn﹣1+1 ②，兩式相加你可得an+1=qan，

即從第二項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q．

當(dāng)n=1時(shí)，∵數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，∴a1+a2=S2=qa1+1，∴a2=q=a1q，

∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q．

∵2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，

∴2q+q+2=2q2，求得q=2，或 q=﹣ ．

根據(jù)q＞0，故取q=2，∴an=2n﹣1，n∈N*

（2）

證明：設(shè)雙曲線x2﹣ =1的離心率為en，

∴en= = ．

由于數(shù)列{an}為首項(xiàng)等于1、公比為q的等比數(shù)列，

∴e2= = = ，q= ，

∴an= ，∴en= = ＞ = ．

∴e1+e2++en＞1+ + +…+ = = ，原不等式得證

【解析】（1）由條件利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求得數(shù)列{an}為首項(xiàng)等于1、公比為q的等比數(shù)列，再根據(jù)2a2 ， a3 ， a2+2成等差數(shù)列求得公比q的值，可得{an}的通項(xiàng)公式．
（2）利用雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)求得en= ，根據(jù)e2= = ，求得q的值，可得{aspan>n}的解析式，再利用放縮法可得∴en= ＞ ，從而證得不等式成立．
本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，用放縮法進(jìn)行數(shù)列求和，數(shù)曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于難題．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．