Question

15、已知函數f（x）的定義域為R，且對于任意x∈R，都有f（x）=f（-x）及f（x+4）=f（x）+f（2）成立．當x₁、x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0成立．現給出下列四個結論：
①f（2）=0；②函數f（x）在區間[-6，-4]上為增函數；③直線x=-4是函數f（x）的一條對稱軸；④方程f（x）=0在區間[-6，6]上有4個不同的實根．
其中正確命題的序號是

①③④

． （把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：由函數f（x）的定義域為R，且對于任意x∈R，都有f（x）=f（-x），易得函數f（x）為偶函數，又由當x₁、x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0成立．則函數f（x）在區間[0，2]上為增函數，又由f（x+4）=f（x）+f（2），易得函數是T=4的周期函數，然后對四個結論逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：∵函數f（x）的定義域為R，
又∵對于任意x∈R，都有f（x）=f（-x），
∴函數f（x）為偶函數，
又∵當x₁、x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，
都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0成立．
∴函數f（x）在區間[0，2]上為增函數，
又∵f（x+4）=f（x）+f（2），
∴函數是T=4的周期函數，
則函數草圖如下圖所示：
由圖易得：f（2）=0，故①正確；
函數f（x）在區間[-6，-4]上為減函數，故②錯誤；
直線x=-4是函數f（x）的一條對稱軸，故③正確
方程f（x）=0在區間[-6，6]上有-6，-2，2，6共4個不同的實根．故④正確
故答案為：①③④

點評：當遇到函數綜合應用時，處理的步驟一般為：①根據“讓解析式有意義”的原則，先確定函數的定義域；②再化簡解析式，求函數解析式的最簡形式，并分析解析式與哪個基本函數比較相似；③根據定義域和解析式畫出函數的圖象④根據圖象分析函數的性質．