Question

【題目】已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，且的面積為1．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設點M為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動點，直線與軸交于點C，直線與軸交于點D，求證：四邊形的面積為定值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）由長軸長是短軸長的2倍，的面積，構(gòu)建方程組，求得ab，代入橢圓方程得答案；

（2）設有，分別表示直線和的方程，從而表示與，可得與長度關(guān)系式，進而可以表示，化簡即證..

（1）∵橢圓的長軸長是短軸長的2倍，∴．

∵的面積為1，∴，，

解得，．

∴橢圓C的方程為．

（2）由（1）可知，，

設，則，即．

則直線的方程為．

令，得，即．

同理，直線的方程為，

令，得，即．

∴

因為且，

則原式．

∴四邊形的面積為定值2．