Question

（1）已知α，β∈(0，

π

2

)，且tanα•tanβ＜1，比較α+β與

π

2

的大小；
（2）試確定一個區間D，D⊆(-

π

2

，

π

2

)，對任意的α、β∈D，當α+β＜

π

2

時，恒有sinα＜cosβ；并說明理由．
說明：對于第（2）題，將根據寫出區間D所體現的思維層次和對問題探究的完整性，給予不同的評分．

Answer 1

分析：（1）利用正切化為正弦、余弦，和角公式求出cos（α+β）＞0，根據α，β∈(0，

π

2

)，推出α+β與

π

2

的大小．
（2）直接在D⊆(-

π

2

，

π

2

)內找出一個子區間，區間是固定的，也可以是變化的，對任意的α、β∈D，當α+β＜

π

2

時，恒有sinα＜cosβ，利用函數的單調性，三角函數的符合特征，加以證明即可．

解答：解：（1）∵tanα•tanβ＜1，α，β∈(0，

π

2

)
∴

sinα•sinβ

cosα•cosβ

＜1=＞sinα•sinβ＜cosα•cosβ（2分）=＞cos（α+β）＞0（2分）
∵α+β∈（0，π）
∴α+β＜

π

2

（2分）
（2）第一類解答：（1）若取D=(-

π

2

，0)或取D=[-

π

3

，-

π

6

]等固定區間且D是(-

π

2

，0)的子集并說明理由者給（2分），
（2）若取D=[γ₁，γ₂]，-

π

2

＜γ1＜γ2＜0，并說明理由者給（3分）
理由：
若取D=(-

π

2

，0)，α+β＜

π

2

，
則-1＜sinα＜0，0＜cosβ＜1，即sinα＜cosβ；
第二類解答：（1）若取D=(0，

π

2

)或取D=[

π

6

，

π

3

]等固定區間且D是(0，

π

2

)的子集，且解答完整得（4分）
（2）若取D是(0，

π

2

)的子集且區間的一端是變動者．且解答完整得（5分）
（3）若取D=[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜

π

2

，且解答完整得（6分）
取D=[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜

π

2

證明如下，設α，β∈[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜

π

2

，
又α+β＜

π

2

，
則α＜

π

2

-β，
因為-γ₂≤-β≤γ₁，

π

2

-γ2≤

π

2

-β≤

π

2

-γ1，
而

π

2

-γ2＞0，

π

2

-γ1＜

π

2

，
即：

π

2

-β∈(0，

π

2

)，于是由α，β∈[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜

π

2

，且α＜

π

2

-β
以及正弦函數的單調性得：0＜sinα＜sin(

π

2

-β)，即：0＜sinα＜cosβ
第三類解答：
（1）若取D=(-

π

4

，

π

4

)或取D=[-

π

6

，

π

6

]等固定區間且D是(-

π

4

，

π

4

)的子集（兩端需異號），且解答完整得（6分）
（2）若取D是(-

π

4

，

π

4

)的子集且區間的一端是變動者（兩端需異號）．且解答完整得（7分）
（3）若取取D=[γ₁，γ₂]，-

π

4

＜γ1＜γ2＜

π

4

，（γ₁與γ₂需異號）且解答完整得（8分）
若取D=(-

π

4

，

π

4

)，
因為：-

π

4

＜α＜

π

4

，-

π

4

＜β＜

π

4

，
則-

π

4

＜-β＜

π

4

亦有：

π

4

＜

π

2

-β＜

3π

4

，
這時，-

2

2

＜sinα＜

2

2

，

2

2

＜sin(

π

2

-β)≤1，
而

2

2

＜sin(

π

2

-β)≤1為

2

2

＜cosβ≤1，
所以有sinα＜cosβ．
（如出現其它合理情況，可斟酌情形給分，但最高不超過8分）．

點評：本題考查比較大小，正弦函數的單調性，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．