Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣2x2﹣4x．
（1）求函數y=f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）在區間[﹣1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=x3﹣2x2﹣4x，

∴f′（x）=3x2﹣4x﹣4，

由f′（x）＞0，得x＜﹣ 或x＞2，

由f′（x）＜0，得﹣ ＜x＜2，

∴函數y=f（x）的單調增區間是（﹣∞，﹣ ），[2，+∞）；單調減區間是[﹣ ，2]．

（2）解：由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，

得 ，x2=2，

列表，得：

x	﹣1	（﹣1，﹣ ）	﹣	（﹣ ，2）	2	（2，4）	4
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	1	↑		↓	﹣8	↑	16

∴f（x）在[﹣1，4]上的最大值為f（x）max=f（4）=16，最小值為f（x）min=f（2）=﹣8．

【解析】（1）求出f′（x）=3x2﹣4x﹣4，利用導數性質能求出函數y=f（x）的單調增區間和單調減區間．（2）由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得 ，x2=2，列表討論能求出f（x）在[﹣1，4]上的最大值和最小值．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．