Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，S_n是數列{a_n}的前n項和，且對任意n∈N^*，有a_n+1=kS_n+1（k為常數）．
（I）當k=2時，求a₂，a₃的值；
（II）試判斷數列{a_n}是否為等比數列？請說明理由．

Answer 1

分析：（I）在遞推關系中，令n取1，2，利用和的定義將和用項表示，求出項．
（II）利用數列和的定義，通過仿寫作差將和與項的關系轉化為項與項間的遞推關系，利用等比數列的定義判斷出數列a_n的情況

解答：解：（I）當k=2時，a_n+1=2S_n+1．
令n=1得a₂=2S₁+1，又a₁=S₁=1，得a₂=3；
令n=2得a₃=2S₂+1=2（a₁+a₂）+1=9，∴a₃=9．
∴a₂=3，a₃=9．
（II）由a_n+1=kS_n+1，得a_n=kS_n-1+1，
兩式相減，得a_n+1-a_n=（kS_n+1）-（kS_n-1+1）=k（S_n-S_n-1）=ka_n（n≥2），
即a_n+1=（k+1）a_n（n≥2），
且

a2

a1

=

k+1

1

=k+1，故a_n+1=（k+1）a_n．
k=-1時，an=

1，(n=1) 0．(n≥2)

此時，{a_n}不是等比數列；
當k=-1時，{a_n}不是等比數列；
當k≠-1時，{a_n}是等比數列

點評：本題考查數列是特殊的函數，求特殊項就是求函數值，將n用特殊值代替；利用仿寫作差將項與和的遞推關系轉化為項與項的遞推關系．