Question

【題目】已知函數f（x）= x2﹣3x+（a﹣1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）﹣g（x）+3x．
（1）當a=5時，求函數f（x）的導函數f′（x）的最小值；
（2）當a=3時，求函數h（x）的單調區間及極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x+ ﹣3，其中x＞0．

因為a=5，又x＞0，所以 ，

當且僅當x=2時取等號，其最小值為1；

（2）解：當a=3時，h（x）= x2+2lnx﹣3x，

h′（x）=x+ ﹣3= ，

x，h′（x），h（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	﹣	0	+
h（x）	遞增	﹣	遞減	2ln2﹣4	遞增

函數h（x）在x=1處取得極大值﹣ ，在x=2處取得極小值2ln2﹣4

【解析】（1）求出函數的導數，根據基本不等式的性質求出函數的最小值即可；（2）求出h（x）的導數，得到h（x）的單調區間，求出函數的極值即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．