Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x-．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）將函數(shù)f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象．若關(guān)于x的方程g（x）-k=0，在區(qū)間[0，]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為[-+kπ，+kπ]，k∈Z（Ⅱ）[，1]

【解析】

（Ⅰ）先化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)三角形的函數(shù)的最小正周期的定義和函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出，

（Ⅱ）根據(jù)圖象的變換可得g（x），求出g（x）的值域即可求出k的范圍．

（Ⅰ）f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+cos2x=sin（2x+），

∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T==π，

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，

∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為+kπ，+kπ]，k∈Z，

（Ⅱ）將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），

得到g（x）=sin（x+），

∵0≤x≤,∴≤x≤，

∴≤sin（x+）≤1，

∴≤g（x）≤1

∴關(guān)于x的方程g（x）-k=0，在區(qū)間[0，]上有實(shí)數(shù)解，

即圖象g（x）與y=k，有交點(diǎn)，

∴≤k≤1，

故k的取值范圍為[，1]．