Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，從橢圓上的點P向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，點A、B分別是橢圓的右頂點和上頂點，且A

B

=λO

P

，又直線AB與圓x2+y2=

2

3

相切，
（1）求滿足上述條件的橢圓方程；
（2）過該橢圓的右焦點F₂的動直線l與橢圓相交于不同的兩點M、N，在x上是否存在定點Q，使得Q

M

•Q

N

為定值？如果存在，求出定點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，直線AB的方程為bx+ay-ab=0，由直線AB與圓x2+y2=

2

3

相切可得，

ab

a2+b2

=

6

3

結(jié)合A

B

=λO

P

，

a

c

=

b

b2 a

可求
（2）設(shè)Q（m，0），M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），直線的方程為y=k（x-1）聯(lián)立方程

y=k(x-1) x2+2y2=2

可得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0，而

QM

•

QN

=(x1-m，y1)•(x2-m，y2)，由方程代入可求

解答：解：（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知可得，A（a，0）B（0，b），F(xiàn)（-c，0），P（-c，

b2

a

），直線AB的方程為bx+ay-ab=0
由直線AB與圓x2+y2=

2

3

相切可得，

ab

a2+b2

=

6

3

①
又因為A

B

=λO

P

，所以（-a，b）=λ(-c，

b2

a

)即

a

c

=

b

b2 a

②
①②聯(lián)立可得，a=

2

，b=c=1
所以，所求的橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（2）設(shè)Q（m，0），M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），直線的方程為y=k（x-1）
聯(lián)立方程

y=k(x-1) x2+2y2=2

可得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0
x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2 k2

y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

-1

1+2k2

•k²

QM

•

QN

=(x1-m，y1)•(x2-m，y2)=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+y₁y₂
=

2(k2-1)

1+2k2

-

4mk2

1+2k2

+m2-

1

1+2k2

•k²=

(1-4m+2m2)k2+m2-2

1+2k2

（*）
不論k取何值，（*）式若為定值，則m=

5

4

，
即Q(

5

4

，0)，Q

M

•Q

N

定值為-

7

16

點評：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程及直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)除直線方程后要能根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系寫出x₁x₂，x₁+x₂．