Question

已知函數f（x）=x³-ax²-x+a，其中a為實數．
（1）求導數f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）=x³-ax²-x+a，根據導數求解公式，代入即可求出導數f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，我們構造關于a的方程，解方程，即可求出參數a的值，進而求出f′（x）的解析式，分別函數的在各區間上的符號，求出區間[-2，3]的最值點，代入即可求出[-2，3]上的最大值和最小值；
（3）由若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是遞增的，結合已知中f′（x）=3x²-2ax-1圖象開口向上，且恒過點（0，-1），可轉化為f′（-2）≥0，解不等式即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax-1（3分）
（2）f′（-1）=3+2a-1=0∴a=-1∴f（x）=x³+x²-x-1∴f′（x）=3x²+2x-1
由∴f′（x）=0可得x=

1

3

或x=-1
又∵f(

1

3

)=-

32

27

，f(-2)=-3，f(3)=32，f(-1)=0
∴f（x）在[-2，3]上的最小值為-3．（9分）
（3）∵f′（x）=3x²-2ax-1圖象開口向上，且恒過點（0，-1）
由條件可得：∴f′（-2）≥0，11+4a≥0即：a≥-

11

4

由f′(3)≥0得a≤

13

3

∴a的取值范圍是[-

11

4

，

13

3

]..（14分）

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，簡單復合函數的導數及函數的單調性與導數的關系，其中根據函數的單調性與導函數值之間的關系，將問題轉化為不等式問題是解答本題的關鍵．