Question

一次數學考試中共有10道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個是正確的．評分標準規定：“每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分．”某考生每道題都給出了一個答案，已經確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道題因完全不會做只能亂猜，試求出該考生：
（1）得50分的概率；
（2）所得分數ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意總共10道題，有這10 題的特點為已確定其中有7道題的答案是正確的，而其余題中有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道題因不了解題意只能亂猜．，所以在其余的3道題中，有1道題答對的概率為

1

2

，有1道題答對的概率為

1

3

，還有1道答對的概率為

1

4

，所以利用相互獨立事件的概率公式即可求解；
（2）由題意該考生得分的范圍為{35，40，45，50}，而每一個結果對應一個事件，事件之間為獨立事件，互斥事件，利用概率公式即可得到得分的分布列，代入期望公式即可．

解答：解：（1）得分為50，10道題必須全做對．有2道題答對的概率為

1

3

，還有1道答對的概率為

1

4

，
所以得分為50分的概率為：P=

1

3

•

1

3

•

1

4

=

1

36

．
（2）依題意，該考生得分的范圍為{35，40，45，50}．
得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，
所以概率為 P1=

2

3

•

2

3

•

3

4

=

1

3

，
得分為40分的概率為：P2=

C

1 2

1

3

×

2

3

×

2

3

×

3

4

+ 

2

3

•

2

3

•

1

4

=

4

9

．
同理求得得分為45分的概率為：P3=

7

36

，
得分為50分的概率為：P4=

1

36

．
所以得分ξ的分布列為：

ξ	35	40	45	50
P	1 3	4 9	7 36	1 36

數學期望Eξ=35×

1

3

+40×

4

9

+45×

7

36

+50×

1

36

=

475

12

點評：此題考查了獨立事件，互斥事件的概率公式，隨機變量的分布列及其期望，重點考查了學生對于題意的正確理解及準確的計算能力