Question

己知函數f(x)=Asin2(ωx+?)(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)，且y=f（x）最大值為2，其圖象過點（1，2）且相鄰兩對稱軸間的距離為2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）計算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡函數的解析式，通過y=f（x）最大值為2，求出A；相鄰兩對稱軸間的距離為2，求出函數的周期，得到ω；其圖象過點（1，2）以及?的范圍，求出?的值，得到函數的解析式．
（2）利用（1）求出函數在一個周期內的函數和的值，然后求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值，即可．

解答：解：（1）y=Asin2(ωx+?)=

A

2

-

A

2

cos(2ωx+2?)
又y的最大值為2，且A＞0，有

A

2

+

A

2

=2?A=2．
相鄰兩對稱軸間距為2，即

T

2

=2?T=4?

2π

2ω

=4（ω＞0），則ω=

π

4

f（x）過點（1，2），代入有cos(

π

2

+2?)=-1 ?

π

2

+2?=2kπ+π(k∈Z)??=kπ+

π

4

，又?∈(0，

π

2

)，∴?=

π

4

，則f(x)=1+sin

π

2

x；（6分）
（2）由（1）f(x)=1+sin

π

2

x，有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，f（4）=1，
又y=f（x）的周期為4，且2011=4×502+3
故f（1）+f（2）++f（2011）=4×502+f（1）+f（2）+f（3）=2011．（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，函數三角形的確定，周期的應用，考查計算能力，轉化思想的應用，常考題型．