Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b是常數，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個相等的實數根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，3]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=0，且f（x）=x有兩個相等的實數根，求出a、b的值，從而得f（x）的解析式；
（2）畫出f（x）的圖象，結合圖象求出f（x）在x∈[0，3]時的最值，即得值域．

解答：解：（1）∵f（2）=0，∴4a+2b=0①；
又方程f（x）=x有兩個相等的實數根，
即ax²+（b-1）x=0有兩個相等的實數根，
∴（b-1）²=0②；
由①②可得，a=-

1

2

，b=1，
∴f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）由（1）知，f（x）=-

1

2

x²+x對稱軸為=1，開口向下，
如圖，；
由圖可知，當∈[0，3]時，f（x）_max=f（1）=

1

2

，f（x）_min=f（3）=-

3

2

，
∴f（x）在x∈[0，3]時的值域是[-

3

2

，

1

2

]．

點評：本題考查了求函數的解析式以及利用函數的圖象與性質求最值，從而得值域的問題，是基礎題．