Question

已知圓C：x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0，直線l：x-3y-3=0，m∈R，O為坐標原點．
（Ⅰ） 求證：任何一條與直線?平行且與圓C相交的直線被圓C截得的弦長與m無關；
（Ⅱ） 當m=-1時，圓C與垂直于直線?的一直線l₁交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l₁的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出與直線?平行的直線的方程：x-3y+n=0，利用點到直線的距離公式表示出圓心到此直線的距離整理后發現不含有參數m故可得結論．
（Ⅱ）由題意設出設直線l₁：y=-3x+b，與圓的方程：（x+3）²+（y+2）²=25聯立，求得兩根之和與兩根之積，代入x₁x₂+y₁y₂=0即可得到關于參數b的方程，求出其值即可得直線l₁的方程
解答：解：（Ⅰ）證明：圓C：（x-3m）²+（y-（m-1））²=25，圓心為（3m，（m-1）），r=5
設直線
弦長=與m無關
（Ⅱ）圓：（x+3）²+（y+2）²=25，設直線y=-3x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得：
=∵OA⊥OB∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴b²+11b-60=0∴b=-15或b=4∴y=-3x-15或y=-3x+4
點評：本題考查直線與圓的方程的應用，求解的重點是設出直線的方程根據所給的關系建立方程求參數，此題由幾何位置關系轉化為代數關系求參數，此是解析幾何的一大重要特征．本題運算較繁瑣，容易出錯，做題時要嚴謹，以防出錯．