Question

【題目】已知橢圓的一個頂點是，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知矩形的四條邊都與橢圓相切，設直線AB方程為，求矩形面積的最小值與最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時S有最大值10；當k=0時，S有最小值8.

【解析】

試題（Ⅰ）利用待定系數法即可，由題意，橢圓的一個頂點是，

所以，又，橢圓C的方程是；（Ⅱ）注意斜率的討論，當時，

橢圓的外切矩形面積為8. 當時， AB所在直線方程為，所以，直線BC和AD的斜率均為.聯立直線AB與橢圓方程可得，令得到，直線AB與直線DC之間的距離為，同理可求BC與AD距離為，所以矩形ABCD的面積為，再利用基本不等式即可解決.

試題解析：（Ⅰ）由題意，橢圓的一個頂點是，

所以

又，離心率為，即，

解得，

故橢圓C的方程是

（Ⅱ）當時，

橢圓的外切矩形面積為8.

當時，

橢圓的外切矩形的邊AB所在直線方程為，

所以，直線BC和AD的斜率均為.

由，消去y得

，

化簡得：

所以，直線AB方程為

直線DC方程為

直線AB與直線DC之間的距離為

同理，可求BC與AD距離為

則矩形ABCD的面積為

由均值定理

僅當，即時S有最大值10.

因此，當時S有最大值10；

當K=0時，S有最小值8.