Question

在曲線y=x²（x≥0）上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍圖形的面積為

1

12

．試求切點A的坐標及過切點A的切線方程．

Answer 1

如圖所示，設切點A（x₀，y₀），
由y′=2x，得過點A的切線方程為
y-y₀=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²．
令y=0，得x=

x0

2

，即C（

x0

2

，0）．
設由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S．
S_{曲邊三角形AOB}=∫x₀₀x²dx=

1

3

x^3|x₀₀=

1

3

x₀³，
S_△ABC=

1

2

|BC|•|AB|=

1

2

（x₀-

x0

2

）•x₀²=

1

4

x₀³．
∴S=

1

3

x₀³-

1

4

x₀³=

1

12

x₀³=

1

12

．
∴x₀=1，從而切點A的坐標為（1，1），切線方程為y=2x-1．