Question

某超市計劃銷售一種水果，已知水果的進價為每盒10元，并且水果的進貨量由銷售量決定．預計這種水果以每盒20元的價格銷售時該超市可銷售2000盒，經過市場調研發現每盒水果的價格在每盒20元的基礎上每減少一元則增加銷售400盒，而每增加一元則減少銷售200盒，現設每盒水果的銷售價格為x（10＜x≤26，x∈N^*）元．
（Ⅰ）求銷售這種水果所獲得的利潤y（元）與每盒水果的銷售價格x的函數關系式；
（Ⅱ）當每盒水果的銷售價格x為多少元時，銷售這種水果所獲得的利潤y（元）最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（I）由于每盒水果的價格在每盒20元的基礎上每減少一元則增加銷售400盒，而每增加一元則減少銷售200盒，現設每盒水果的銷售價格為x（10＜x≤26，x∈N^*）元．因此當10＜x≤20時，（x∈N^*），y=[2000+400（20-x）]（x-10），當20＜x≤26時，y=[2000-200（x-20）]（x-10）即可得出；
（II）利用（I），通過配方和利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）依題意y=

[2000+400(20-x)](x-10)，10＜x≤20 [2000-200(x-20)](x-10)，20＜x≤26

x∈N^*
∴y=

400(25-x)(x-10)，10＜x≤20 200(30-x)(x-10)，20＜x≤26

x∈N^*．
（Ⅱ）y=

-400(x- 35 2 )2+22500，10＜x≤20 -200(x-20)2+20000，20＜x≤26

x∈N^*
當10＜x≤20，則當x=17或18，y_max=22400（元）；
當20＜x≤26，y＜20000，y取不到最大值；
綜合上可得當x=17或18時，該特許專營店獲得的利潤最大為22400元．

點評：正確理解題意和銷售利潤=銷售件數×每一件的利潤、二次函數的單調性等是解題的關鍵．