Question

如果有窮數列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m為正整數）滿足條件a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我們稱其為“對稱數列”．例如，數列1，2，5，2，1與數列8，4，2，2，4，8都是“對稱數列”．
（1）設{b_n}是7項的“對稱數列”，其中b₁，b₂，b₃，b₄是等差數列，且b₁=2，b₄=11．依次寫出{b_n}的每一項；
（2）設{c_n}是49項的“對稱數列”，其中c₂₅，c₂₆，…，c₄₉是首項為1，公比為2的等比數列，求{c_n}各項的和S；
（3）設{d_n}是100項的“對稱數列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首項為2，公差為3的等差數列．求{d_n}前n項的和S_n（n=1，2，…，100）．

Answer 1

分析：（1）由b₁，b₂，b₃，b₄為等差數列，且b₁=2，b₄=11，先求b₁，b₂，b₃，b₄，然后由對稱數列的特點可寫出數列的各項．
（2）由c₂₅，c₂₆，…，c₄₉是首項為1，公比為2的等比數列，先求出c₂₅，c₂₆，…，c₄₉通項，結合對稱數列的對應項相等的特點，可知前面的各項，結合等比數列的求和公式可求出數列的和
（3）由d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首項為2，公差為3的等差數列，可求該數列d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀的通項，由對稱數列的特點，結合等差數列的特點，求數列的和

解答：解：（1）設數列{b_n}的公差為d，則b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴?數列{b_n}為2，5，8，11，8，5，2．
（2）S=c₁+c₂+…+c₄₉=2（c₂₅+c₂₆+…+c₄₉）-c₂₅=2（1+2+2²+…+2²⁴）-1=2（2²⁵-1）-1=2²⁶-3=67108861．
（3）d₅₁=2，?d₁₀₀=2+3×（50-1）=149．
由題意得d₁，d₂，，d₅₀是首項為149，公差為-3的等差數列．
當n≤50時，S_n=d₁+d₂+…+d_n=149n+

n(n-1)

2

(-3)=-

3

2

n2+

301

2

n．
當51≤n≤100時，S_n=d₁+d₂+…+d_n=S₅₀+（d₅₁+d₅₂+…+d_n）
=3775+2•(n-50)+

(n-50)(n-51)

2

×3=

3

2

n2-

299

2

n+7500
綜上所述，Sn=

- 3 2 n2+ 301 2 n ，1≤n≤50 3 2 n2- 299 2 n+7500 ，51≤n≤100

點評：本題以新定義對稱數列為切入點，運用的知識都是數列的基本知識：等差數列的通項及求和公式，等比數列的通項及求和公式，還體現了分類討論在解題中的應用．