Question

如圖，已知圓O的直徑AB長度為4，點D為線段AB上一點，且AD=

1

3

DB，點C為圓O上一點，且BC=

3

AC．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=BD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求PD與平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知可得△ACO為等邊三角形，從而CD⊥AO．由點P在圓O所在平面上的正投影為點D，可得PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（II）過點D作DE⊥CB，垂足為E，連接PE，再過點D作DF⊥PE，垂足為F．得到DF⊥平面PBC，故∠DPF為所求的線面角．在Rt△DEB中，利用邊角關系求出DE即可．

解答：（Ⅰ）證明：連接CO，由3AD=DB知，點D為AO的中點，
又∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥CB，
由

3

AC=BC知，∠CAB=60°，
∴△ACO為等邊三角形，從而CD⊥AO．
∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，
由PD∩AO=D得，CD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD=

3

，PD=DB=3，
過點D作DE⊥CB，垂足為E，連接PE，再過點D作DF⊥PE，垂足為F．
∵PD⊥平面ABC，又CB?平面ABC，
∴PD⊥CB，又PD∩DE=D，
∴CB⊥平面PDE，又DF?平面PDE，
∴CB⊥DF，又CB∩PE=E，
∴DF⊥平面PBC，故∠DPF為所求的線面角．
在Rt△DEB中，DE=DBsin30°=

3

2

，PE=

PD2+DE2

=

3 5

2

，
sin∠DPF=sin∠DPE=

DE

PE

=

5

5

．

點評：熟練掌握等邊三角形的判定與性質、正投影的意義、線面垂直的判定與性質定理、線面角的定義與作法、直角三角形的邊角關系等是解題的關鍵．