Question

已知在四邊形ABCD中，AD=DC=2，AB=4

2

，BC=2

6

，DC⊥AD，沿AC折疊，使D在底面ABC上的射影P在△ABC邊AB的高線上．
（1）設E為AC中點，求證：PE∥平面BCD；
（2）求BD與平面ABC的所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1） 易證AC⊥面DPE．PE⊥AC，再由AC²+BC²=AB²得BC⊥AC，在同一平面內垂直于同一直線的兩直線平行得PE∥BC，再由線面平行的判斷定理得證；
（2）由DP⊥面ABC和線面角的定義知：∠DPB為BD與面ABC所成的角再求解．

解答：（1）證明：連接DE，
∵DA=DC=2，DC⊥AD
∴AC=2

2

又∵E是中點，∴DE⊥AC
又∵DP⊥面ABC，AC?面ABC
∴AC⊥DP，又DP∩DE=D
∴AC⊥面DPE．又EP?面DEP
∴PE⊥AC（1）
在△ABC中，∵AC=2

2

，BC=2

6

，AB=4

2

∴AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC（2）（4分）
又PE，AC，BC都在面ABC內，
由（1），（2）知PE∥BC
又∵PE?面BCD，BC?面BDC
∴PE∥面BDC（7分）

（2）連接PB，∵DP⊥面ABC
∴∠DPB為BD與面ABC所成的角．
在Rt△ABC中，∵sin∠CAB=

3

2

，∴∠CAB=60°，∠ABC=30°
在Rt△ACH中，∠ACH=30°
在Rt△PEC中，CE=

2

，∠ACH=30°，PE=

6

3

，PC=

2

3

6

在Rt△DPE中，DP2=DE2-PE2，DP=

2

3

3

在△BCP中，∠BCP=60°，
PB=

PC2+CB2-2PC•CB•cos60°

=

2

3

42

(11分)
在Rt△DBP中，DP=

2

3

3

，PB=

2

3

42

∴tan∠DBP=

DP

PB

=

14

14

(15分)

點評：本題主要考查用量的關系證明位置關系以及線面平行判斷定理和線面角的求法，屬于中檔題．