Question

已知函數f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos²x+

1

2

sin²x-1．
（ I ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的最小值和最大值；
（II）設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=

3

，f（c）=0，若向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB）共線，求a、b的值．

Answer 1

分析：（I）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式及兩角差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據x的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的值域即可得到f（x）的最大值和最小值；
（II）由f（C）=0，代入f（x）中，根據C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可得到C的度數，根據平面向量平行時滿足的條件得到sinB=2sinA，根據正弦定理得到a與b的關系式，記作①，又根據余弦定理，由c和cosC的值，得到a與b的另一個關系式，記作②，聯立①②即可求出a與b的值．

解答：解：（I）f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos²x+

1

2

sin²x-1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin（2x-

π

6

）-1
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴函數f（x）的最小值時-

3

2

，最大值時0；
（II）由f（C）=0，得到sin（2C-

π

6

）-1=0，∵0＜C＜π，∴C=

π

3

，
又∵向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB）共線，∴sinB-2sinA=0，
由正弦定理得：b-2a=0①，
又由余弦定理得：a²+b²-2abcosC=c²，即a²+b²-ab=3②，
聯立①②，解得a=1，b=2．

點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用二倍角的正弦、余弦函數公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡求值，掌握正弦函數的值域及平面向量平行時滿足的條件，是一道中檔題．