Question

【題目】設函數.

（1）當時，試求的單調增區間；

（2）試求在上的最大值；

（3）當時，求證：對于恒成立.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)詳見解析; （3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）當時， ， ，當，得，所以的單調增區間為；（2）， ，得，討論， ， ，利用函數在區間上的單調性可以求出函數在上的最大值；（3）當時，設函數，則問題轉化為證明對于， ，利用導數研究函數在區間的單調性，從而證明成立，于是問題得證.

試題解析：(1)由，得.當時， ，令，得.所以的單調增區間為.

(2)令，得，所以當時， 時， 恒成立， 單調遞增；當時， 時， 恒成立， 單調遞減；當時， 時， ， 單調遞減； 時， ， 單調遞增，綜上，無論為何值，當時， 最大值都為或. ，

，所以當

時， ，

當時， .

（3）令，所以，所以，令，

解得，所以當時， 單調遞減；當時， 單調遞增，所以當時， ，所以函數在上單調遞增，所以，所以恒成立.